一对年轻的数学家夫妇解决了一个几何学中最基本对象的古老问题

       更一般地来说，数学家想知道，什么时候可以通过任意多维的任意多点绘制曲线。这是一个关于代数曲线的基本问题，又称为插值问题，它是数学中最核心的对象之一。斯坦福大学数学教授、代数几何学家、拉维·瓦基尔（Ravi Vakil）说：“这实际上就是为了认知曲线是什么的问题。”线条或曲线，是几何学中一个最为基本的对象。
      尽管也使用了先进的数学工具研究了曲线数百年，但对于高维度的曲线来说，数学家们仍感到是棘手。在二维空间中，一条直线可以用一个方程得出，如可以写成y = a x + b，圆可以写成x^2 + y^2 = c。但在三维或更多维空间中，曲线变得复杂，通常由相当多的变量和方程定义，以至于难于完全理解其几何形状。因此，曲线的最基本的属性可能非常难以掌握，包括看似简单的概念，即它是否通过空间中的一些点集合。

       几个世纪以来，数学家一直在证明插值问题的例子：例如，能否将一条具有某些特定性质的曲线穿过3维空间中的16个点，或5维空间中的10亿个点？这项工作不仅使数学家们能够回答代数几何中的重要问题，而且还有助于激发如密码学、数字存储、以及其他远远超出纯数学领域的开发。尽管如此，瓦基尔说，仅仅了解大多数曲线的插值是不够的。数学家想让所有人都知道它。

       今年早些时候，布朗大学的两位年轻数学家，埃里克·拉尔森（Eric Larson）和伊莎贝尔·沃格特（Isabel Vogt）在一篇长达70多页的论文中，对这个问题进行了证明，完全系统地解决了这个问题。这篇论文标志着他们近十年来的研究工作的高潮，在此期间，他们逐渐地解决了这个问题，解决了关于曲线是什么样子、以及它们如何表现的重要相关问题——并且还结了婚。

伊莎贝尔·沃格特（Isabel Vogt）

       “这真的是一个了不起的故事，”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学教授萨姆·佩恩评价说，“这么年轻、对数学生涯发展初期的人来说，如此坚持，能够抓住如此深刻、困难的问题。”插值问题的解决方案的建立，可追溯到19世纪的数学家们的探索，它回答一个基本的问题，到底有哪些代数曲线？

      曲线是位于高维空间中的一维对象。虽然通常不清楚如何使用特定方程来描述曲线，但数学家可以根据某些数值属性来描述曲线。其中第一个是曲线所在空间的维度。第二个是曲线的度数，即它与超平面相交的次数，这是一个小一个维度的子空间。例如，二维平面中的圆的度数为2，因为当它被一条一维线切割时，该线通常会在两个点上与它会合。嵌入20维空间的曲线的度数，是它与19维超平面相交的次数。可以将度数视为曲线扭曲程度的一种度量。

      数学家用来描述曲线的第三个数字称为亏格。因为曲线是用复数定义的一维对象，所以它的每个点也可以写成一对实数，而不是一个复数。这意味着从拓扑的角度来看，曲线实际上看起来像一个二维表面，并且该表面可以有孔。一个典型的例子是甜甜圈的表面。所以，曲线的亏格属性就是它有多少个孔。

       数学家甚至在可以开始考虑给定亏格和度的曲线可能是什么样子之前，他们首先需要弄清楚，这些曲线何时可能存在。这个问题看起来简单，这也是一个巨大的挑战。在1870年代，数学家亚历山大·范·布里尔和马克斯·诺特（"代数女皇"艾米·诺特的父亲），使用三个属性制定了预测：亏格 ( g ) 即它具有的孔数；度数（d）即其扭曲度；以及曲线所在的维数 ( r )。他们推测，当且仅当该曲线的度数足够大时，可以将给定亏格的曲线嵌入到给定维数的空间中，即如果曲线足够软。他们用g、d和r写出了一个精确的不等式，并认为只有这种不等式成立，所选择的曲线才是可能的。
      但他们的论点缺乏实际证据。直到一个多世纪后，1980年，数学家、原普林斯顿高等研究院第7任院长、菲利普·格里菲瑟茨，和哈佛大学数学教授乔·哈里斯，在代数几何中使用现代技术来证明，布里尔-诺特定理确实是正确的。从那时起，数学家已经对该定理提出了大约六种不同的证明，并围绕它发展了许多的理论。结果最终使数学家有可能回到插值问题，即计算出r维空间中的一个g亏格和d度的曲线，可以通过多少个随机点的问题。按照布里尔和诺特的研究，他们对这个问题的答案应该是有了一个有根据的猜测.。与布里尔-诺特定理一样，它以曲线参数需要满足的特定不等式的形式出现，这一次不仅用g、d和r 来表示，而且还用点的数量n来表示。
      但与布里尔-诺特定理不同的是，这条规则有明显的例外情况，即曲线的几何形状限制了它本来可以通过的点数。“这已经表明这是一个硬定理，是一个深奥的定理，这需要大量的工作，”佩恩说。这就是拉尔森和沃格特这对年轻夫妻感兴趣的问题。他们的部分灵感来自他们的教授之一哈里斯，当时他们是哈佛大学的本科生，他们于2011年在哈佛相遇。哈里斯后来成为拉尔森的博士生导师和沃格特的合作伙伴与顾问，他们开始认真研究插值问题。拉尔森是在研究代数几何中另一个被称为最大秩猜想（maximal rank conjecture）的主要问题时，开始参与插值问题的研究。当时他是麻省理工一名研究生时，他将目光投向了这个已经公开了一个多世纪的猜想，这似乎是“一个非常愚蠢的想法，因为这个猜想就像一个墓地，”瓦基尔评价说。“他试图追逐比他年长很多的人、在很长一段时间内都失败了的东西。”但拉尔森坚持了下来，并在2017年提出了充分的证明，他成为了该领域的一颗冉冉升起的新星。
      该证明的关键在于解决插值问题的各种情况。这是因为拉尔森对最大秩猜想的方法，这也是关于代数曲线的很大一部分是将感兴趣的曲线分解为多条曲线，研究它们的性质，然后以正确的方式将它们粘合在一起。为了将这些更简单的曲线粘合在一起，必须让它们中的每一个都通过同一组点，这反过来又意味着要证明一个插值问题。“插值为你提供了构建这些 更复杂]曲线的机器，”拉尔森说。当时沃格特已经在研究插值。在她读研究生所写的第一篇论文中，她证明了3D空间中的所有插值案例；次年，她又与拉尔森合作解决了四维空间的问题。这对夫妇此后在其他项目上也进行了合作，“这就是我们开始合作的方式，”沃格特说。同年——也是拉尔森发布最先进的证明的那一年，他们结婚了。从那以后，他们经常在晚餐后讨论想法，在家里的黑板上解决问题。插值问题寻求某种类型的曲线是否可以通过给定的随机点集合。为证明这一点，两人必须证明曲线可以以特定方式在空间中摆动。例如，考虑一条线上的三个点。如果将一个点稍微移离直线，但保持其他两个点固定，则不能以任何方式移动直线以使其通过新的点配置。试图会合所有三点将迫使线弯曲，因此它不再是一条直线。所以一条直线可以通过两个点而不是三个点进行插值。
      数学家想为高维空间中更复杂的曲线找出类似的东西——在某些点上移动它们，并研究它们是如何移动的。为此，他们需要探查一种称为曲线法向丛的结构，该结构基本上控制了曲线如何摆动。然后可以将插值问题重写为关于计算曲线法线丛属性的问题。但是对于拉尔森和沃格特所关注的更为复杂的曲线，这些曲线的研究变得异常困难。因此，他们使用了与拉尔森在最大秩猜想证明中使用的类似策略。给定一条曲线，把它分成微妙的几块样。瓦基尔说：“就这样，他们解决了这个问题，但采用了正确的方式，这样他们就可以准确地看到发生了什么。”
      举一个简单的例子（下图）。假设你在平面上有一条双曲线，一条看起来像一对相互背对的弧线镜像的单一曲线。你可以“变形”这条曲线，直到它分成两条更简单的曲线，在这个例中是一对以X形相互交叉的线。双曲线几何的某些方面仍然反映在那些线的几何中。但由于线条更简单，更容易使用，也更容易分析它们的正常束。

       也就是说，你不能简单地查看各条线的法线丛，并立即将其转化为对双曲线法线丛的认知。那是因为在两条线相交的地方，从某种意义上说，正常的丛行为不规则，数学家必须研究经过某些修改的正规丛。当然，拉尔森和沃格特关注的不是双曲线与线条，而是更复杂的情况。他们首先将一条复杂的曲线分成两部分：一条线和一条在一个或两个点与该线相交的更简单（但仍然很复杂）的曲线。然后他们会将更复杂的曲线一分为二，一次又一次地重复这个一分为二的过程，直到把所有东西都简化为真正简单的“基本”曲线，

       “那种你可以徒手解决的事情， ”沃格特说。在整个过程中，他们必须跟踪碎片的正常捆绑包——以及对那些堆积起来的正常捆绑包的所有修改——以证明他们需要证明原始正常捆绑包的内容。但这些打破曲线的方法还不够。它们不适用于布里尔-诺特定理所涵盖的所有类型的曲线。

       拉尔森和沃格特不得不引入一种新的方法来打破他们的曲线，这种方法不涉及其中一个部分是一条线。弄清楚这一点是一个挑战，不仅因为它可能根本无法在他们论证的给定步骤中按照他们的意愿行事，而且还因为他们必须注意插值不成立的例外情况。沃格特说：“你的论点必须足够复杂，因为你永远不能最终得到]例外”作为你的基本情况。“那真的很糟糕。”

      最终，他们找到了一种方法来做到这一点。“这在技术上极其困难。这是一个非常非常苛刻的论点设立，”哈里斯说。“坦率地说，我认为这需要具有拉尔森和沃格特技能的人来执行它。”同时，他们开发了处理在该论证过程中堆积的对正常捆绑包的所有修改的方法。柏林洪堡大学的数学家Gavril Farkas评价说：“跟踪所有这些数据并能够将其贯彻到底是一项了不起的壮举。”

埃里克·拉尔森（Eric Larson）